Архив рубрики «Математика»

postheadericon Олимпиада по математике 11 класс районный этап с ответами

Коля, Петя и Вася играют в настольный теннис «навылет»: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Коля сыграл 8 партий, Петя – 17. Сколько партий сыграл Вася?

Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Три острых угла вместе составляют прямой угол. Докажите, что сумма косинусов этих трех углов больше суммы их синусов.

В окружности хорда PQ проходит через середину хорды AB, и перпендикулярна диаметру AC. Найдите AB, если AP=1.

Фальшивомонетчик дядя Коля за 10 дней изготовил 2014 фальшивых пятитысячных монет. Его внук Петя с целью оптимизации работы деда рассчитал производительность труда (количество монет, изготовленных за k подряд идущих дней, деленное на k) для всех k = 1,2,…,10 и всех этапов производства. Докажите, что произведение всех полученных Петей 45 чисел – целое число.

Максимальная оценка за каждую задачу 7 баллов

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

11 класс

Коля, Петя и Вася играют в настольный теннис «навылет»: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Коля сыграл 8 партий, Петя – 17. Сколько партий сыграл Вася?

Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Три острых угла вместе составляют прямой угол. Докажите, что сумма косинусов этих трех углов больше суммы их синусов.

В окружности хорда PQ проходит через середину хорды AB, и перпендикулярна диаметру AC. Найдите AB, если AP=1.

Фальшивомонетчик дядя Коля за 10 дней изготовил 2014 фальшивых пятитысячных монет. Его внук Петя с целью оптимизации работы деда рассчитал производительность труда (количество монет, изготовленных за k подряд идущих дней, деленное на k) для всех k = 1,2,…,10 и всех этапов производства. Докажите, что произведение всех полученных Петей 45 чисел – целое число.

Максимальная оценка за каждую задачу 7 баллов

postheadericon Олимпиада по математике 11 класс муниципальный этап с ответами

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 прямых плоскости. Никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Будем считать, что прямые – это автобусные маршруты, а их точки пересечения – остановки. При этом с каждой остановки можно проехать на любую другую: если остановки лежат на одной прямой, то без пересадки, а если нет, то с одной пересадкой. Далее, если даже отбросить в этой схеме одну прямую, то всё ещё останется возможность проехать с каждой остановки на любую другую, сделав в пути не больше одной пересадки. Однако если отбросить две прямые, то одна остановка (точка пересечения этих прямых) уже вовсе не будет обслуживаться оставшимися маршрутами и с неё будет невозможно проехать на какую- либо другую.

Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

Ответ: 1996.

Решение. Первая цифра числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», — любой из пяти ( 0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4+10+10+5= 2000; так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.

3. На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, … 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак «+» или «» (умножить). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечётным числом, то выигрывает первый, а если чётным – второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: выигрывает второй игрок.

Решение. Для достижения успеха второй игрок может пользоваться симметричной стратегией: если первый ставит какой – то знак между числами к и к+1, то второй ставит такой же знак между числами 99-к и 100-к. Выражение, которое получится в конце игры, будет содержать несколько слагаемых – произведений, причём слагаемое, содержащее число 50, является чётным, а остальные слагаемые естественным образом разобьются на пары «симметричных» слагаемых одинаковой чётности. Таким образом, выражение, полученное в конце игры, окажется чётным.

4. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.

Решение. Например, так:1, 3, 5, 2, 4, 6, 8,10, 7, 9 , 11, … , 96, 98, 100,97, 99 (в каждой пятёрке порядок расположения чисел 5к+1, 5к+3, 5к+5, 5к+2, 5к+4)

5. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Ответ: на семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных ( если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны. Но сумма восьми наименьших нечётных простых чисел равна 98.

6. Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Решение. Если рядом с числом 16 стоит число х, то 16 + 1  16 +х =а2  16 + 15, откуда а2 = 25 и х = 9. поэтому у числа 16 не может быть более одного соседа и удовлетворяющее условию расположение чисел по кругу невозможно. Пример расположения в строку:

16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.

7. Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один — остроугольный.

Решение. Окружность, описанная около правильного 1997- угольника, является описанной и для любого треугольника данного разбиения. Так как центр окружности, описанной около правильного 1997- угольника, не лежит на диагонали, то он попадает внутрь какого-то одного треугольника.

Треугольник является остроугольным, если центр описанной окружности лежит внутри него, и тупоугольным, если центр описанной окружности лежит вне его. Следовательно, треугольник, в который попал центр описанной окружности, — остроугольный, все остальные – тупоугольные.

8. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые, от 0 до 10 включительно. Докажите что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.

Решение. Объединим учеников в группы по фамилиям и в группы по именам (возможны группы, состоящие из одного человека, — например, ученик, не имеющий однофамильцев).

Каждый войдёт в две группы – по фамилии и по имени. Из условия задачи следует, что в классе ровно 11 групп. Действительно, есть группы, состоящие из 1, 2, …, 11 человек, поэтому групп не менее 11, но 1 + 2 + … + 11 = 66 = 2 .33, т. е. мы уже сосчитали каждого ученика дважды, значит, больше групп нет.

Рассмотрим группу из 11 человек ( скажем, однофамильцев). Остальных групп и, в частности, групп тёзок не более десяти. Поэтому какие – то двое из11 входят в одну группу тёзок, т. е. у них одинаковы и имя, и фамилия.

9. На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются узлами. Звеном мы будем называть отрезок, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?

Ответ: 41 звено.

Решение. Звенья следует стирать через одно.

10. В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем числе учеников это возможно?

Ответ: 23.

Решение. Исходя из условия задачи заключаем, что хотя бы один двоечник в классе есть. Понятно, что меньше всего учеников будет в классе, где двоечник только один. Поскольку двоечников – не более 4,5% от общего числа учеников, то всего в классе не менее 1 : 0,045 =22 29 человек, т. е. не менее 23 человек. Класс из 23 учеников, среди которых ровно один двоечник, удовлетворяет условию задачи.

11. Двое по очереди закрашивают клетки таблицы 8  8. одним ходом разрешается закрасить одну или несколько клеток, расположенных либо в одной строке, либо в одном столбце таблицы. Клетки закрашенные ранее, закрашивать вторично запрещается, проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Ответ: выигрывает партнёр начинающего.

Решение. Для того чтобы победить, он должен каждым своим ходом закрашивать клетки, симметричные клеткам, закрашенным предыдущим ходом начинающего (относительно центра доски или одной из осей симметрии доски, параллельной её краям).

12. Решить в целых числах систему уравнений

ху + z = 94,

х + уz = 95.

Ответ: х = 95, у = 0, z = 94 или х = 31, у = 2, z = 32.

Решение. Вычтя из второго уравнения первое, получим (х — z)(1 — у) = 1.

По условию, х, у, z целые, тогда возможны два случая:

1) х– z = 1, 1 – у = 1, т. е. у = 0. Подставив значение у в систему, получим: z =94, x=95.

2) х –z = -1, 1 – у = — 1, т. е. z = х +1, у = 2. Подставим найденные значения у и z в первое уравнение, получим 2х + х +1 = 94, х = 31. Отсюда z = 32.

13. Докажите, что если а2 +в2 + ав + вс + са  0, то а2 +в2  с2.

Решение. Домножим обе части неравенства на 2 и преобразуем его следующим образом:

2а2+2в2+2(ав+вс+са)0,

а2+в2+с2+2(ав+вс+са)+а2+в2с20,

(а+в+с)2+а2+в2с20,

а2+в2с2(а+в+с)20.

Отсюда а2+в2с20, или а2+в2 с2.

14. На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

Ответ: нельзя.

Решение. Двигаясь по отрезкам диагоналей, мы проходим поочерёдно через вершины и центры граней. Но у куба 8 вершин и только 6 граней.

Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

Ответ: можно.

Решение. Например, круги можно расположить далеко друг от друга так, чтобы их центры лежали на параболе у=х2.

postheadericon Задания олимпиады по математике 11 класс с ответами фгос

Задание №1.

Решите уравнение:

Решение:

sin9x + (cos3x+sin3x)=0,

sin9x+cos (

2cos (

где

Задание №2.

Докажите, что 2a+ при .

Решение: Найдём производную функции f(a) =2a+ :

Значит, f(a) убывает на (0;1), а поэтому f(0) , где f(1) =3, т.е. 2a+ при

Задание №3.

В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, b=9 см и h=8 см. Найдите радиус описанного круга.

Решение: пусть ABCD — данная трапеция, BK и CM — высоты.

В С

А D

Тогда ; AK=DM=6 см; BD=; BD = 17 см; AB=; AB=10 см. R =. Отсюда R=10 см.

Задание №4.

Найдите все положительные решения системы:

, , , .

Решение:

Сложим все уравнения, предварительно умножив второе и четвёртое уравнения на 4.

Получим или

отсюда следует, что .

Задание №5.

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то полученное число делится на 19.

Решение: выпишем последовательность чисел, которые получаются из числа 12008: 120308, 1203308, …., 12033…308 (n троек), …. Первое число равно 9Далее предположим, что и число с количеством троек в записи n-1 делится на 19 . Докажем, что и число с количеством троек n также делится на 19.. В самом деле, 12033…308-12033…308=1083000…0. Но 1083 делится на 19, поэтому и также делится на 19.

postheadericon Олимпиада по математике 11 класс городской этап с ответами

11.1. (далее…)

postheadericon Олимпиада по математике 11 класс с ответами фгос

1 (далее…)

postheadericon Олимпиада по математике 10 класс районный этап с ответами

1. (далее…)

postheadericon Олимпиада по математике 10 класс муниципальный этап с ответами

10 (далее…)

postheadericon Задания олимпиады по математике 10 класс с ответами фгос

Задания (далее…)

postheadericon Олимпиада по математике 10 класс городской этап с ответами

Делится ли на 61? (7баллов)
Решить уравнение .(7баллов)
Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС. (7баллов)
При каких значениях а разность корней уравнения равна 3? (7баллов)
Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей. (7баллов)

postheadericon Олимпиада по математике 10 класс школьный этап с ответами

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 прямых плоскости. Никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Будем считать, что прямые – это автобусные маршруты, а их точки пересечения – остановки. При этом с каждой остановки можно проехать на любую другую: если остановки лежат на одной прямой, то без пересадки, а если нет, то с одной пересадкой. Далее, если даже отбросить в этой схеме одну прямую, то всё ещё останется возможность проехать с каждой остановки на любую другую, сделав в пути не больше одной пересадки. Однако если отбросить две прямые, то одна остановка (точка пересечения этих прямых) уже вовсе не будет обслуживаться оставшимися маршрутами и с неё будет невозможно проехать на какую- либо другую.

Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

Ответ: 1996.

Решение. Первая цифра числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», — любой из пяти ( 0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4+10+10+5= 2000; так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.

3. На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, … 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак «+» или «» (умножить). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечётным числом, то выигрывает первый, а если чётным – второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: выигрывает второй игрок.

Решение. Для достижения успеха второй игрок может пользоваться симметричной стратегией: если первый ставит какой – то знак между числами к и к+1, то второй ставит такой же знак между числами 99-к и 100-к. Выражение, которое получится в конце игры, будет содержать несколько слагаемых – произведений, причём слагаемое, содержащее число 50, является чётным, а остальные слагаемые естественным образом разобьются на пары «симметричных» слагаемых одинаковой чётности. Таким образом, выражение, полученное в конце игры, окажется чётным.

4. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.

Решение. Например, так:1, 3, 5, 2, 4, 6, 8,10, 7, 9 , 11, … , 96, 98, 100,97, 99 (в каждой пятёрке порядок расположения чисел 5к+1, 5к+3, 5к+5, 5к+2, 5к+4)

5. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Ответ: на семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

9 6 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных ( если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны. Но сумма восьми наименьших нечётных простых чисел равна 98.

6. Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Решение. Если рядом с числом 16 стоит число х, то 16 + 1  16 +х =а2  16 + 15, откуда а2 = 25 и х = 9. поэтому у числа 16 не может быть более одного соседа и удовлетворяющее условию расположение чисел по кругу невозможно. Пример расположения в строку:

16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.

7. Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один — остроугольный.

Решение. Окружность, описанная около правильного 1997- угольника, является описанной и для любого треугольника данного разбиения. Так как центр окружности, описанной около правильного 1997- угольника, не лежит на диагонали, то он попадает внутрь какого-то одного треугольника.

Треугольник является остроугольным, если центр описанной окружности лежит внутри него, и тупоугольным, если центр описанной окружности лежит вне его. Следовательно, треугольник, в который попал центр описанной окружности, — остроугольный, все остальные – тупоугольные.

8. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые, от 0 до 10 включительно. Докажите что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.

Решение. Объединим учеников в группы по фамилиям и в группы по именам (возможны группы, состоящие из одного человека, — например, ученик, не имеющий однофамильцев).

Каждый войдёт в две группы – по фамилии и по имени. Из условия задачи следует, что в классе ровно 11 групп. Действительно, есть группы, состоящие из 1, 2, …, 11 человек, поэтому групп не менее 11, но 1 + 2 + … + 11 = 66 = 2 .33, т. е. мы уже сосчитали каждого ученика дважды, значит, больше групп нет.

Рассмотрим группу из 11 человек ( скажем, однофамильцев). Остальных групп и, в частности, групп тёзок не более десяти. Поэтому какие – то двое из11 входят в одну группу тёзок, т. е. у них одинаковы и имя, и фамилия.

9. На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются узлами. Звеном мы будем называть отрезок, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?

Ответ: 41 звено.

Решение. Звенья следует стирать через одно.

10. В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем числе учеников это возможно?

Ответ: 23.

Решение. Исходя из условия задачи заключаем, что хотя бы один двоечник в классе есть. Понятно, что меньше всего учеников будет в классе, где двоечник только один. Поскольку двоечников – не более 4,5% от общего числа учеников, то всего в классе не менее 1 : 0,045 =22 29 человек, т. е. не менее 23 человек. Класс из 23 учеников, среди которых ровно один двоечник, удовлетворяет условию задачи.

11. Двое по очереди закрашивают клетки таблицы 8  8. одним ходом разрешается закрасить одну или несколько клеток, расположенных либо в одной строке, либо в одном столбце таблицы. Клетки закрашенные ранее, закрашивать вторично запрещается, проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Ответ: выигрывает партнёр начинающего.

Решение. Для того чтобы победить, он должен каждым своим ходом закрашивать клетки, симметричные клеткам, закрашенным предыдущим ходом начинающего (относительно центра доски или одной из осей симметрии доски, параллельной её краям).

12. Решить в целых числах систему уравнений

ху + z = 94,

х + уz = 95.

Ответ: х = 95, у = 0, z = 94 или х = 31, у = 2, z = 32.

Решение. Вычтя из второго уравнения первое, получим (х — z)(1 — у) = 1.

По условию, х, у, z целые, тогда возможны два случая:

1) х– z = 1, 1 – у = 1, т. е. у = 0. Подставив значение у в систему, получим: z =94, x=95.

2) х –z = -1, 1 – у = — 1, т. е. z = х +1, у = 2. Подставим найденные значения у и z в первое уравнение, получим 2х + х +1 = 94, х = 31. Отсюда z = 32.

13. Докажите, что если а2 +в2 + ав + вс + са  0, то а2 +в2  с2.

Решение. Домножим обе части неравенства на 2 и преобразуем его следующим образом:

2а2+2в2+2(ав+вс+са)0,

а2+в2+с2+2(ав+вс+са)+а2+в2с20,

(а+в+с)2+а2+в2с20,

а2+в2с2(а+в+с)20.

Отсюда а2+в2с20, или а2+в2 с2.

14. На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

Ответ: нельзя.

Решение. Двигаясь по отрезкам диагоналей, мы проходим поочерёдно через вершины и центры граней. Но у куба 8 вершин и только 6 граней.

Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

Ответ: можно.

Решение. Например, круги можно расположить далеко друг от друга так, чтобы их центры лежали на параболе у=х2.

Архивы

Вы просматриваете архив рубрики «Математика».

Bookmarks